Cosas mías

Planeta, Booket Divulgación, nº 3051, 2004
81-08-04679-9
Fermat’s Last Theorem, 1997
Rústica, 317 páginas.

Lectura número 0012/2006

Singh nos explica la resolución del último teorema de Fermat, realizada por Andrew Wiles hace no mucho tiempo. Para ello comienza con el teorema de Pitágoras (que es la expresión más simple del mismo) y, de forma gradual, va explicando todo lo necesario para entender los conceptos que envuelven la resolución del teorema. Evidentemente no explica la resolución, puesto que al parecer ésta sólo es entendida por un puñado de los mejores matemáticos actuales.

El discurso es a veces pesado, pues Singh se repite continuamente, volviendo tediosamente hacia atrás y adelante en el tiempo, y al principio de la secciones vuelve a contar casi con las mismas palabras lo que ya ha hecho, como ocurre en los documentales norteamericanos, que tras la pausa de la publicidad retoman, reiterativa y retrospectivamente, el tema.

Es una obra enfocada para no matemáticos, y los conceptos que explica son completamente entendibles por cualquier lego, incluso los apéndices con desarrollos un poco más técnicos y rigurosos, por lo que en algunas partes se vuelve, otra vez, tedioso para quien tenga los conocimientos necesarios.

Pero todo eso no quita belleza ni fuerza al libro, que termina con una recopilación de otros elementos de una sencillez aparente similar al teorema de Fermat pero que todavía se encuentran sin explicar.

Y en la última sección comenta brevemente lo que constituye realmente el misterio de todo este asunto, y es la posible resolución de Fermat, que, desde luego, no es la de Wiles. Se barajan dos opciones sino tres; la primera y más probable consisten en que Fermat obtuvo una demostración errónea; en la segunda se baraja la posibilidad de que se haya obviado algo evidente y que la explicación sea mucho más sencilla, a la altura de cualquier alumno de bachillerato actual, y la última (que no aparece en este libro pero que he visto reflejada en otros lugares), en la que Fermat debe estar partiéndose de risa en la tumba a costa de los miles de matemáticos que han intentado demostrarla, aunque si es cierto, ésta se le debió de cortar de golpe un día de mayo de 1993.

En los siguientes párrafos voy a explicar por encima la demostración, lo que estropea en cierta medida la lectura del libro; el autor ha expuesto los detalles de forma ascendente, de menor a mayor tensión, por lo que la lectura es equivalente, dentro de un límite, claro, a la lectura de una novela de misterio, por lo que no recomiendo seguir leyendo si quieres mantener viva la tensión del libro. Y por favor, quien la lea que no me pregunte detalles más allá de los que aparecen en el libro, pues mi desconocimiento sobre el tema es total.

El último teorema de Fermat dice que la ecuación xn + yn = zn para n>2 tiene como única solución x=y=z=0. Gherard Frey llegó a demostrar que la ecuación era equivalente a la expresión y2 = ax2 + c que se corresponde a una posible ecuación elíptica. Añadió que si se demostraba la pertenencia de dicha expresión a las ecuaciones elípticas, el teorema de Fermat sería entonces falso y cierta la conjetura de Taniyama-Shimura, que relaciona las ecuaciones elípticas con las expresiones modulares.

Y viceversa, o que si la conjetura de Taniyama-Shimura es cierta, entonces la conjetura de Fermat es cierta (esto, es, que no existe solución aparte de la trivial). Pero la conjetura de Taniyama-Shimura está íntimamente relacionada con muchos avances matemáticos de las últimas décadas, y si se demuestra que es falsa, todo ese edificio se derrumbaría.

La conjetura afirma que para cada ecuación elíptica existe una expresión modular y viceversa, pero se encontraba sin demostrar, aunque se creía cierta. De este modo, encontrando una expresión modular equivalente a una elíptica, podría operarse fácilmente con la modular y así resolver la elíptica.

Wiles decidió intentar resolver el enigma de Fermat demostrando la validez o no de la conjetura. Para ello tomó un enfoque diferente al habitual y, en lugar de equiparar una ecuación con una expresión, lo que hizo fue equiparar sus términos uno a uno.

Primero demostró que el primer término de cualquier ecuación elíptica se correspondía con el primer término de cualquier expresión modular mediante la teoría de grupos de Galois, pero ahí se detuvo por falta de ideas y de conocimientos. Bueno, lo que demostró es que el primer elemento de la serie E que representa a cualquier ecuación elíptica es equivalente al primer elemento de la serie M de cualquier expresión modular).

Atascado, dividió las ecuaciones elípticas en familias y encontró el recientemente publicado método de resolución de Kolyvagin-Flach y lo aplicó demostrar que un elemento n de la serie E de cualquier ecuación elíptica es equivalente al mismo elemento n de la serie M de cualquier expresión modular dentro de una misma familia. Repitió lo mismo para cada familia. Tarea nada fácil, a la que le ayudó un colega, simulando unas clases sin alumnos para comprobar la validez de lo utilizado, pues Wiles no estaba familiarizado con el método citado.

Pero en la revisión técnica del artículo surgen dudas, y una de ellas bastante importante que derriba parte de la demostración, pero tras un año de intensa investigación el propio Wiles es capaz de bordear el asunto combinando el método de Kolyvagin-Flach con el de Iwasawa, que había rechazado anteriormente.

Demostrando que la conjetura de Taniyama-Shimura es cierta, también se demuestra que el teorema de Fermat cumple lo que el propio Fermat afirmó, y salva a muchos matemáticos de tener que arrojar a la papelera cientos de teoremas y avances basados en la conjetura.